arkusz kalkulacyjny do ćwiczeń z dopasowaniem krzywej do punktów pomiarowych

dopasowanie krzywej drugiego stopnia do punktów pomiarowych
w_granicach_bledu.xls
dane_i_srednia.xls
prawo_Ohma_
dopasowanie_prostej_y=ax.xls

SPREZYSTOSC.xls

pomiary przykładowy arkusz  sprawdzianu

Jak są powiązane ze sobą różnecechy tego samego obiektu?

Związki cech

Przebieg zjawisk w naszym otoczeniu najczęściejzależy od wielu czynników. Na przykład temperatura wrzenia wody zależy nietylko od stopnia zanieczyszczenia, ale również od ciśnienia zewnętrznego.

Szybkość parowania cieczy zależy od wielkościpowierzchni z jakiej ciecz paruje, od ruchu powietrza nad tą powierzchnią wreszcieod rodzaju cieczy i temperatury otoczenia.

Aby dowiedzieć się, jaki wpływ na przebieg zjawiskama każdy z tych czynników należy zastosować kanony eksperymentalne wywiedzionez logiki eliminacyjnej Steward’a Mille’a. Najczęściej stosowanym kanonem jest kanon jedynej różnicy.

Jeżeli dwa zjawiska różnią się tylko jednymczynnikiem i przebiegają inaczej to znaczy że czynnik ten decyduje o przebiegu zjawiska.

Należy zatem organizować badania tak, aby wszystkieczynniki miały stałą wartość za wyjątkiem jednego wybranego.

W przykładzie z parowaniem cieczy można na przykładprowadzić badania w stałej temperaturze i w nieruchomym powietrzu zmieniającjedynie powierzchnię parowania.

Dopasowanie krzywej do punktów pomiarowych

Badanie związku miedzy dwoma różnymi cechami tegosamego procesu zazwyczaj prowadzi się w ten sposób, że w eksperymencie mierzy się zmianę jednego parametru i mierzy się wielkość skutków, jakie ta zmiana wywołała. Otrzymuje się w ten sposób parę liczb, które są współrzędnymi punktu na wykresie. Porównując rozklad punktów pomiarowych z kształtem wykresów wybranych funkcji można zbudować matematyczny model zjawiska.  

W równaniu funkcji występują współczynnikii nterpretowane jako parametry dopasowania. Na przykład przebieg funkcji f(x)=ax² + bx +c  zależy od parametrów a, b oraz c. Ich sens fizyczny określa się na podstawie analizy wymiarowej tzn. porównania jednostek lewej i prawej strony równania. Jeżeli na przykład w podanym wyżej równaniu x jest czasem trwania ruchu a y drogą, to współczynnik a musi mieć jednostkę m/s² .

Badanie jakości dopasowania

Badając jakość dopasowania analizujesię odchylenie punktu pomiarowego od krzywej teoretycznej. Odchyleniem nazywać będziemy wartość bezwzględną różnicy między zmierzoną wartością y dla pewnego x oraz obliczoną wartością dopasowywanej funkcji dla tego samego argumentu.

Porównując różne dopasowania można brać pod uwagę albo sumę odchyleń, albo odchylenie średnie. W pierwszym przypadku wybieramy tę funkcje, dla której suma odchyleń jest najmniejsza. Wdrugim – tę, dla której suma odchyleń dzielona przez ilość pomiarów jest najmniejsza.

Istnieją oczywiście statystyczne metody oceny jakości dopasowania na podstawie tzw . współczynnika korelacji R². Dopasowywanie linii trendu do punktów pomiarowych w arkuszu kalkulacyjnym EXCEL umożliwia na przykład wyświetlenie (opcje) na wykresie równania dopasowywanej funkcji oraz tego właśnie współczynnika. Na potrzeby szkolne wystarczy obliczyć wielkość:

(A_śr – odchylenieśrednie)/ A_śr

gdzie A_śr jest średniąwartością mierzonej wielkości fizycznej

Dla przykładowych danych zawartych w arkuszu dopasowanie_nowe.xls spróbuj znaleźć współczynniki a, b oraz c tak, aby liczba podkomórka opisaną jako DOPASOWANIE była jak najbliższa jedności. Parametrydopasowania zmienia się za pomocą suwaków umieszczonych na dole okna arkusza.Dane ćwiczeniowe zostały tak dobrane, że możliwe osiągniecie dopasowania 1.Zwróć uwagę, jaki wpływ na kształt dopasowywanej paraboli ma zmiana każdego zewspółczynników.